Lancio dei dadi

Come funziona

Cos'è

Lanciare un dado una volta non dice niente: esce un numero e basta. Lanciarlo tante volte dice moltissimo, perché i risultati si dispongono secondo una forma che si può prevedere in anticipo. Questo strumento fa i lanci al posto tuo e disegna quella forma mentre si costruisce.

Le barre sono le frequenze osservate: quante volte è uscita ogni somma. La linea è la frequenza attesa, calcolata contando in quanti modi diversi si può ottenere ciascuna somma. Non è una previsione fatta a occhio: è un conto esatto.

Quando si usa

• Per capire la differenza fra probabilità (quello che la teoria dice) e frequenza (quello che succede davvero).
• Per vedere con gli occhi la legge dei grandi numeri: con 10 lanci l'istogramma è irregolare, con 100.000 ricalca la curva teorica quasi perfettamente.
• Nei giochi da tavolo: con due dadi il 7 esce molto più spesso del 2 o del 12, e non è sfortuna — è aritmetica.
• Come primo incontro con la curva a campana: con due dadi non viene una campana ma un triangolo, e la campana compare aggiungendo dadi. È il motivo per cui tante misure in natura hanno quella forma.

Il metodo

Con un dado le sei facce sono tutte uguali: ogni numero ha probabilità 1/6, cioè circa 16,7%. L'istogramma è piatto.

Con due dadi cambia tutto, perché le somme non sono più equiprobabili. Il 2 si ottiene in un modo solo (1+1); il 7 in sei modi (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1). Le combinazioni possibili sono 6 × 6 = 36, quindi:

• probabilità del 2: 1/36 ≈ 2,8%;
• probabilità del 7: 6/36 = 1/6 ≈ 16,7%, sei volte tanto.

Lo strumento fa questo conto per qualsiasi numero di dadi e lo disegna come linea sopra le barre. La media attesa è più semplice ancora: un dado dà in media 3,5, quindi n dadi danno 3,5 × n.

Triangolo o campana?

È la domanda che viene guardando il grafico, e la risposta dipende da quanti dadi ci sono.

• Un dado: sei risultati equiprobabili, la previsione è una riga piatta.
• Due dadi: le combinazioni sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 su 36. Crescono di uno alla volta e calano di uno alla volta, quindi i fianchi sono due segmenti dritti: è un triangolo, non una campana. Una campana ha i fianchi curvi, e qui non ci sono.
• Tre o quattro dadi: gli angoli si smussano, i fianchi cominciano a incurvarsi.
• Cinque dadi: è una campana in piena regola, con le code sottili ai lati.

Non è una coincidenza: sommando sempre più cose casuali il risultato tende a quella forma, qualunque sia il punto di partenza. Si chiama teorema del limite centrale, ed è il motivo per cui la campana si ritrova dappertutto — nelle altezze delle persone, negli errori di misura, nei voti di una classe numerosa.

I casi limite

• Pochi lanci — con 10 lanci le barre sono a caso e la linea teorica sembra sbagliata. Non lo è: sono i dati a essere troppo pochi. Rilancia e viene tutto diverso.
• Tanti lanci — a 100.000 la differenza fra osservato e atteso scende sotto il mezzo punto percentuale, e non per magia: gli scarti in più e in meno si compensano.
• Le code — le somme estreme (il minimo e il massimo) restano rarissime comunque: con 5 dadi il 5 e il 30 hanno una probabilità su 7776.
• «Adesso deve uscire» — no. I dadi non hanno memoria: dopo dieci volte senza il 7, la probabilità del 7 al lancio dopo è sempre 1/6. È l'errore più comune di tutti, e ha un nome: la fallacia del giocatore.

Le parole

Frequenza assoluta

quante volte un risultato è uscito. Un numero intero.

Frequenza relativa

quella assoluta divisa per il numero di lanci, spesso scritta in percentuale. È quella che si confronta con la probabilità.

Probabilità

casi favorevoli diviso casi possibili, calcolata prima di lanciare. Per il 7 con due dadi: 6 su 36.

Media (o valore atteso)

il valore attorno a cui i risultati si distribuiscono. Con un dado è 3,5, che non è nemmeno un risultato possibile — e va benissimo così.

Legge dei grandi numeri

più prove si fanno, più la frequenza relativa si avvicina alla probabilità. Non dice quando ci si arriva, dice che ci si arriva.

Equiprobabile

quando tutti i risultati hanno la stessa probabilità: le facce di un dado sì, le somme di due dadi no.