Fattori primi, MCD e mcm

Come funziona

Cos'è

Ogni numero intero maggiore di 1 si può scrivere in un solo modo come prodotto di numeri primi. È il teorema fondamentale dell'aritmetica: la scomposizione di 48 è 2⁴ × 3, e non ce n'è un'altra. Quei fattori sono il «documento d'identità» del numero.

Il MCD (Massimo Comune Divisore) è il più grande numero che divide tutti quelli dati; il mcm (minimo comune multiplo) è il più piccolo numero che li contiene tutti come divisori. Con le scomposizioni sotto gli occhi, li si legge senza calcolarli.

Quando si usa

• Semplificare una frazione: si divide sopra e sotto per il MCD. 48/180 → 4/15, perché MCD(48, 180) = 12.
• Sommare frazioni: il denominatore comune più piccolo è il mcm dei denominatori.
• Problemi di incontri: due autobus che passano ogni 48 e ogni 180 minuti si ritrovano insieme dopo 720 minuti, cioè il mcm.
• Tagliare in parti uguali: da nastri di 48 cm e 180 cm si ricavano pezzi da 12 cm senza avanzi, cioè il MCD.

Il metodo

1. Si scompone — si divide per il più piccolo primo possibile (2, poi 3, poi 5, 7, 11…) e si continua sul quoziente finché non resta 1. È la scaletta che vedi qui sopra, identica a quella del quaderno.

2. Si mette in tabella — una riga per ogni primo che compare in almeno una scomposizione, e l'esponente che ha in ciascun numero. Se un primo non c'è, il suo esponente è 0.

3. Si legge il risultato:

1. MCD = i fattori comuni a tutti, presi con l'esponente più piccolo. Se un primo manca anche a un solo numero, non entra nel MCD.
2. mcm = i fattori comuni e non comuni, presi con l'esponente più grande. Non ne resta fuori nessuno.

Il perché è più semplice della regola: un divisore comune non può usare un primo più volte di quante ne abbia il numero che ne ha di meno — da lì il minimo. Un multiplo comune deve invece bastare al numero che ne ha di più — da lì il massimo.

I casi limite

• Il numero è già primo — la scomposizione è il numero stesso: 13 = 13. La scaletta ha un solo passaggio.
• Numeri primi fra loro (per esempio 8 e 15) — non hanno nessun primo in comune, quindi MCD = 1 e il mcm è il loro prodotto.
• Uno divide l'altro (per esempio 6 e 24) — il MCD è il più piccolo e il mcm è il più grande.
• Il numero 1 — non si accetta: non è primo e non ha scomposizione. Si parte da 2.
• Con due numeri vale sempre MCD × mcm = a × b. Con tre non è più vero: è una verifica comoda, non una regola generale.

Le parole

Numero primo

ha esattamente due divisori, 1 e sé stesso: 2, 3, 5, 7, 11, 13… Il numero 1 non è primo, perché di divisori ne ha uno solo.

Fattore

uno dei numeri che, moltiplicati, danno il numero di partenza.

Esponente

quante volte un fattore si ripete: in 2⁴ il fattore 2 compare quattro volte.

Divisore

un numero che sta nell'altro senza resto. 12 è divisore di 48, perché 48 : 12 = 4 esatto.

Multiplo

il contrario: 48 è multiplo di 12. Ogni numero ha infiniti multipli, per questo del mcm si cerca il minimo.

Primi fra loro

due numeri il cui unico divisore comune è 1. Non vuol dire che siano primi: 8 e 15 non lo sono, ma sono primi fra loro.