Frazione generatrice di un decimale periodico

Come funziona

Cos'è

La frazione generatrice è la frazione che, divisa, dà quel numero decimale. 1/3 genera 0,333…, e viceversa da 0,333… si risale a 1/3.

Vale la pena saperlo fare perché dice una cosa importante: ogni decimale periodico è un numero razionale, cioè una frazione travestita. I numeri che non si possono scrivere come frazione — π, √2 — hanno cifre decimali che non si ripetono mai, e sono un'altra famiglia: gli irrazionali.

Quando si usa

• Per calcolare in modo esatto: con 0,333… devi troncare e sbagli; con 1/3 no.
• Nelle espressioni dove compaiono decimali periodici: si trasformano tutti in frazione e poi si opera come al solito.
• Per riconoscere se un numero è razionale: se il decimale ha un periodo, la frazione esiste. Se non ce l'ha, non esiste.

Il metodo

Il trucco è uno solo: far sparire la coda infinita. Non si può sottrarre «un po'» di infinito, ma si possono costruire due numeri che hanno esattamente la stessa coda, e sottrarli: la coda si cancella e resta un conto fra numeri interi.

Prendiamo x = 0,1666… (antiperiodo 1, periodo 6):

1. moltiplico per 100 — una potenza di 10 con tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo più quelle del periodo — e ottengo 100x = 16,666…;
2. moltiplico per 10 — solo le cifre dell'antiperiodo — e ottengo 10x = 1,666…;
3. i due numeri hanno la stessa identica coda ,666…: sottraendo si cancella, e resta 90x = 15;
4. divido: x = 15/90, e riduco ai minimi termini: 1/6.

La regola che si impara a memoria — «al numeratore tutte le cifre meno quelle che non si ripetono, al denominatore tanti 9 quante le cifre del periodo e tanti 0 quante quelle dell'antiperiodo» — non è una formula magica: è il riassunto di questi quattro passaggi. Il 90 al denominatore è 100 − 10.

Decimale finito — se non c'è periodo non serve nessuna sottrazione: 0,75 è 75/100, cioè 3/4. Basta contare le cifre dopo la virgola e mettere altrettanti zeri sotto.

I casi limite

• Periodo 9 — il caso che fa discutere in classe: 0,999… dà esattamente 9/9 = 1. Non «quasi 1»: è 1, sono due scritture dello stesso numero. Lo stesso vale per 2,999… = 3.
• Periodo 0 — 0,50̄ è solo 0,5 scritto in modo complicato: uno zero che si ripete non aggiunge niente, quindi il numero è decimale finito.
• Zeri iniziali nell'antiperiodo — contano eccome: 0,03̄ vale 1/30, mentre 0,3̄ vale 1/3. Dieci volte tanto.
• Numeri negativi — il segno si mette da parte all'inizio e si rimette alla fine: il procedimento non cambia.
• Il periodo non è unico — 0,4̄5̄ e 0,45̄4̄5̄ sono lo stesso numero scritto con periodo «45» o «4545». Lo strumento accetta entrambi e dà la stessa frazione, perché la riduzione ai minimi termini rimette tutto a posto.

Le parole

Decimale finito

ha un numero preciso di cifre dopo la virgola e poi si ferma: 0,75.

Decimale periodico semplice

il periodo comincia subito dopo la virgola: 0,3̄.

Decimale periodico misto

fra la virgola e il periodo ci sono cifre che non si ripetono: 0,16̄.

Periodo

il gruppo di cifre che si ripete all'infinito. Si scrive con una lineetta sopra.

Antiperiodo

le cifre fra la virgola e il periodo, quelle che compaiono una volta sola.

Numero razionale

un numero che si può scrivere come frazione di due interi. Sono tutti e soli quelli con decimali finiti o periodici.