Grandezze proporzionali
Scopri se due grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali, trova il valore mancante di un problema, oppure guarda come cambiano tabella e grafico al variare della costante. Con tutti i passaggi.
Numeri interi, decimali con la virgola (4,5) o frazioni (1/2). Le righe vuote si saltano.
Scrivi tre valori e lascia vuoto quello da trovare. Esempio: 3 quaderni costano 4,50 €, quanto costano 7 quaderni? Oppure: 4 operai finiscono un lavoro in 12 giorni, 6 operai in quanti giorni?
Prova a cambiare k: 2, 12, 1/2, -3. Con l'inversa e un k intero la tabella usa i suoi divisori, così la y viene intera.
La tabella, controllata
| x | y | y / x | x · y |
|---|
✓ resta uguale in ogni riga ≠ cambia da una riga all'altra
Svolgimento passo passo
Le formule
Come funziona
Che cos'è
Due grandezze sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è sempre lo stesso: quando una raddoppia, anche l'altra raddoppia. Sono inversamente proporzionali se è il loro prodotto a restare sempre lo stesso: quando una raddoppia, l'altra si dimezza. Il numero che resta costante si chiama costante di proporzionalità k.
Quando si usa
- Diretta: quantità e prezzo (a prezzo unitario fisso), ingredienti e porzioni di una ricetta, spazio e tempo a velocità costante, le scale delle carte geografiche.
- Inversa: velocità e tempo per fare uno stesso percorso, numero di operai e giorni per uno stesso lavoro, numero di persone e quota a testa per dividere una spesa.
- È il cuore della «regola del tre» dei problemi: tre valori noti e uno da trovare.
Il metodo
- Per riconoscerle: in una tabella si calcola y/x riga per riga; se è sempre uguale sono direttamente proporzionali. Altrimenti si calcola x · y; se è sempre uguale sono inversamente proporzionali.
- Per trovare un valore mancante: si calcola k con la coppia completa, poi si usa y = k · x (diretta) oppure y = k / x (inversa). Nella diretta si può usare anche la proporzione x₁ : y₁ = x₂ : y₂ e la proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
- Sul grafico: la diretta è una retta che passa per l'origine, l'inversa è un ramo di iperbole equilatera.
I casi limite
- Crescere insieme non basta. Il taxi costa 3 € fissi più 2 € al chilometro: più chilometri, più spesa, ma 2 km non costano il doppio di 1 km (7 € contro 5 €). È un legame lineare, non una proporzionalità: il grafico è una retta che non passa per l'origine.
- Calare non basta. Anche per l'inversa serve che il prodotto resti costante, non solo che una grandezza cali mentre l'altra cresce.
- Lo zero. Nella diretta la coppia (0; 0) va bene, ma il rapporto non si calcola. Nell'inversa nessuna delle due grandezze può valere 0.
- k negativo. Matematicamente si può, ma nei problemi con grandezze fisiche (prezzi, tempi, persone) k è positivo.
- Altri legami. L'area di un quadrato e il suo lato non sono proporzionali: se il lato raddoppia, l'area quadruplica (è proporzionale al quadrato del lato).
Il lessico
- Grandezza
- Qualcosa che si può misurare o contare: un prezzo, un tempo, un numero di persone.
- Costante di proporzionalità k
- Il valore che resta uguale: il rapporto y/x nella diretta, il prodotto x · y nell'inversa.
- Rapporto e prodotto
- Il rapporto è il risultato di una divisione (y : x), il prodotto quello di una moltiplicazione (x · y).
- Proporzione
- L'uguaglianza fra due rapporti, a : b = c : d. a e d sono gli estremi, b e c i medi.
- Iperbole equilatera
- La curva di y = k/x: si avvicina sempre di più agli assi senza toccarli mai.
Il conto si fa in un attimo: capire che tipo di problema è, no
Percorsi personalizzati con un docente di ruolo: proporzioni, percentuali e problemi, per riconoscere da soli quando una grandezza è proporzionale all'altra.