Calcolatore Retta

Come funziona

Che cos'è

Una retta nel piano cartesiano è l'insieme dei punti (x; y) che soddisfano un'equazione di primo grado in x e y: le lettere compaiono senza esponenti e non si moltiplicano fra loro. Ogni equazione di questo tipo è una retta, e ogni retta ha un'equazione di questo tipo.

Quando si usa

Ogni volta che una grandezza cambia in modo costante: il prezzo di un taxi (quota fissa più tanto al chilometro), lo spazio percorso a velocità costante, la temperatura che cala di un grado ogni ora. Il coefficiente angolare è «quanto cambia y quando x aumenta di 1», l'ordinata all'origine è il valore di partenza. È anche la base per parabole, sistemi e disequazioni.

Il metodo

• Dall'equazione: si porta tutto al primo membro (forma implicita ax + by + c = 0), si tolgono i denominatori, poi si isola la y (forma esplicita y = mx + q).
• Da due punti: si calcola m come differenza delle y diviso differenza delle x, poi si usa la retta per un punto y − y_A = m(x − x_A).
• Da un punto e m: si applica direttamente y − y_P = m(x − x_P) e si svolgono i conti.
• Gli assi: si taglia l'asse y mettendo x = 0, l'asse x mettendo y = 0.

I casi limite

• Retta orizzontale (y = k): m = 0, non taglia l'asse x, a meno che non sia proprio l'asse x (y = 0).
• Retta verticale (x = k): nella forma implicita manca la y, quindi b = 0 e non si può isolare la y. Non ha forma esplicita e non ha coefficiente angolare: la divisione per x_B − x_A = 0 non si può fare.
• Retta per l'origine (y = mx): q = 0, e i due punti di intersezione con gli assi coincidono nell'origine.
• Due punti uguali non bastano: per un punto passano infinite rette.
• Se x e y si cancellano (per esempio 2x + y = 2x + y + 3) non c'è nessuna retta: l'equazione è sempre vera o sempre falsa.

Il lessico

Coefficiente angolare (pendenza) m

Di quanto cambia la y quando la x aumenta di 1. Positivo: la retta sale; negativo: scende; zero: è orizzontale.

Ordinata all'origine q

La y del punto in cui la retta taglia l'asse y, cioè il valore di y quando x = 0.

Forma esplicita

y = mx + q: la y è isolata, e m e q si leggono subito.

Forma implicita

ax + by + c = 0: tutto al primo membro. Vale per tutte le rette, anche quelle verticali.

Ascissa e ordinata

La x e la y di un punto. Si scrive (x; y), col punto e virgola, per non confonderlo con la virgola dei decimali.

Rette parallele e perpendicolari

Parallele: stessa pendenza. Perpendicolari: si incontrano ad angolo retto, e il prodotto dei loro coefficienti angolari è −1.