I battimenti: due suoni quasi uguali
Suonando insieme due note di frequenza leggermente diversa si sente un suono che cresce e cala di volume periodicamente: i battimenti. Le due onde sono ora in fase, ora in opposizione, e la loro somma pulsa. I musicisti li usano per accordare: quando i battimenti spariscono, le due note sono uguali.
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sin a + sin b = 2 cos((a − b)/2) sin((a + b)/2)
Dalla formula di prostaferesi, la somma di due sinusoidi è un’oscillazione alla frequenza media (f₁ + f₂) / 2, moltiplicata per un inviluppo lento, 2 cos(π (f₁ − f₂) t): la curva viola. Il volume segue l’inviluppo.
L’inviluppo ha frequenza (f₁ − f₂) / 2, ma il volume ha un massimo a ogni cresta e a ogni ventre dell’inviluppo: i battimenti sono quindi |f₁ − f₂| al secondo. Con 110 e 114 Hz si sentono 4 pulsazioni al secondo.
Se la differenza supera una ventina di hertz l’orecchio non sente più i battimenti ma due note distinte e un po’ stonate. I due grafici in alto mostrano le singole onde su un ventesimo di secondo; quello in basso la loro somma su un secondo.
L’animazione mostra, la spiegazione fa capire
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