Il rombo: definizione, diagonali e dimostrazioni

Il rombo in pratica: proprietà, esempi, domande

Le proprietà in chiaro

Nel rombo \(ABCD\), con i lati \(AB \cong BC \cong CD \cong DA\) e le diagonali \(AC\) e \(BD\) che si incontrano in \(M\):

è un parallelogramma, quindi i lati opposti sono paralleli, gli angoli opposti sono congruenti e le diagonali si dividono a metà: \(AM \cong MC\), \(BM \cong MD\);
due angoli consecutivi sono supplementari: \(\hat{A} + \hat{B} = 180^\circ\) (sono angoli coniugati interni fra le parallele \(AD\) e \(BC\));
le diagonali sono perpendicolari: \(AC \perp BD\), quindi i quattro triangoli \(ABM\), \(BCM\), \(CDM\), \(DAM\) sono rettangoli in \(M\);
ogni diagonale è bisettrice dei due angoli che unisce: \(AC\) divide a metà \(\hat{A}\) e \(\hat{C}\), \(BD\) divide a metà \(\hat{B}\) e \(\hat{D}\);
il perimetro è quattro volte il lato: \(2p = 4\,\ell\).

E all'incontrario, un parallelogramma è un rombo se ha due lati consecutivi congruenti, oppure le diagonali perpendicolari, oppure una diagonale bisettrice di un angolo.

Esempio 1: dagli angoli del rombo agli angoli delle diagonali

In un rombo \(ABCD\) l'angolo \(\hat{A}\) misura \(64^\circ\). Quanto misurano gli altri angoli, e gli angoli che le diagonali formano con il lato \(AB\)?

Gli angoli opposti sono congruenti: \(\hat{C} = \hat{A} = 64^\circ\).
Gli angoli consecutivi sono supplementari: \(\hat{B} = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ\), e \(\hat{D} = \hat{B} = 116^\circ\).
\(AC\) è bisettrice di \(\hat{A}\): \(\widehat{MAB} = 64^\circ : 2 = 32^\circ\).
\(BD\) è bisettrice di \(\hat{B}\): \(\widehat{MBA} = 116^\circ : 2 = 58^\circ\).
Controllo: nel triangolo \(ABM\) l'angolo in \(M\) è retto, e \(32^\circ + 58^\circ + 90^\circ = 180^\circ\), come per ogni triangolo.

Esempio 2: dal perimetro al lato, da una diagonale agli angoli

Un rombo ha il perimetro di \(52\) cm, e una sua diagonale forma con un lato un angolo di \(20^\circ\). Trova il lato e gli angoli del rombo.

I quattro lati sono congruenti: \(\ell = 52 \text{ cm} : 4 = 13 \text{ cm}\).
La diagonale è bisettrice dell'angolo da cui parte, quindi quell'angolo misura \(2 \cdot 20^\circ = 40^\circ\).
L'angolo opposto è congruente: \(40^\circ\).
Gli altri due sono supplementari: \(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\) ciascuno.
Controllo: \(40^\circ + 140^\circ + 40^\circ + 140^\circ = 360^\circ\), la somma degli angoli interni di un quadrilatero.

Domande frequenti

Le diagonali del rombo sono congruenti?

In generale no: sono perpendicolari e si dividono a metà, ma hanno lunghezze diverse. Se fossero anche congruenti, il rombo sarebbe pure un rettangolo, perché un parallelogramma con le diagonali congruenti è un rettangolo.

Un parallelogramma con le diagonali perpendicolari è sempre un rombo?

Sì. È la prima delle due condizioni sufficienti dimostrate in questa lezione; l'altra è che una diagonale sia bisettrice di un angolo.

Un quadrilatero con i quattro lati uguali è un rombo?

Sì, se è convesso: ha i lati opposti congruenti, quindi per i criteri del parallelogramma è un parallelogramma, e con i quattro lati congruenti è un rombo.

Come si calcola l'area del rombo?

Non in questa lezione: le aree si costruiscono più avanti, nel capitolo sulle superfici equivalenti, confrontando i poligoni con parallelogrammi e triangoli. Fin qui si lavora su lati, angoli e diagonali.